Harmonisches und geometrisches Mittel

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Harmonisches und geometrisches Mittel.
Das arithmetischen Mittel ist als Durchschnittswert nicht immer sinnvoll anzuwenden.
In den folgenden zwei Ausnahmefällen bieten sich das "harmonische und geometrische" Mittel zur Berechnung eines "Durchschnittswertes" besser an.

Das Harmonische Mittel wird häufig zur Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten verwendet.
So auch im folgenden Beispiel: In unserem Restaurant gibt es 2 Kellner. Der eine braucht für die Bedienung eines Gastes 2 Minuten, der andere ist langsamer und benötigt 4 Minuten für die Bedienung eines Gastes.
Wie hoch ist die durchschnittliche Bedienungszeit pro Gast?
Das arithmetische Mittel läge direkt dazwischen, also bei 3 Minuten.
Ist das nun die richtige Lösung? Nein, denn der schnelle Kellner bedient in der gleichen Zeit mehr Gäste, als der langsame.
Wenn der schnelle Kellner nun aber mehr Gäste bedient, übt er auch stärkeren Einfluss auf die Durchschnittsgeschwindigkeit beider Kellner aus. Der Wert der durchschnittlichen Bedienungsgeschwindigkeit pro Gast muss demnach schneller sein, also weniger als 3 Minuten betragen.

Anhand dieser Formel können wir das harmonische Mittel berechnen.

"n" ist die Anzahl der bedienten Gäste. In unserem Beispiel waren das "2", denn die Bedienungsgeschwindigkeiten wurden jeweils "pro Gast" angegeben. Für die Bedienung eines Gastes hat der schnelle Kellner 2 Minuten und der langsame Kellner 4 Minuten gebraucht. Heraus kommen als Durchschnittsgeschwindigkeit pro Gast "2,66 Minuten".

Merke dir: Wenn du den Durchschnitt von Geschwindigkeiten berechnest, kann es sinnvoll sein, die Formel für das harmonische Mittel anzuwenden. Das Stichwort für den Einsatz des "geometrische Mittels" lautet "durchschnittliches Wachstum".

Diese Tabelle zeigt uns die Umsätze und die Umsatzzuwächse unseres jährlichen Restaurantumsatzes an. Im Jahr 2006 lag der Restaurantumsatz z.B. um 13,1 Prozent über dem, des Jahres 2005. Wie bilden wir aus diesen 4 Wachstumsraten einen Durchschnittswert? Der Einsatz des arithmetischen Mittels wäre hier denkbar, ist jedoch zur Berechnung einer durchschnittlichen Wachstumsrate nicht sinnvoll.
Warum? Weil die Wachstumsraten der einzelnen Jahre voneinander abhängen und wir sie deshalb nicht wie unabhängige Werte einfach "addieren" dürfen, müssen wir sie durch folgende Formel "multiplizieren".
Es liegen uns 4 Werte vor, "n" beträgt also 4 und wir rechnen daher "4. Wurzel aus dem Produkt der einzelnen Wachstumsraten.
Dies ist das geometrische Mittel und wir kennen nun die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate unseres Restaurantumsatzes.

Man kann sich einfach merken: Wenn der Durchschnittswert aus Wachstumsraten gebildet werden soll, so muss die Formel des geometrischen Mittels verwendet werden.